Computergrafik aus iterierten Polynomen

Im Unterschied zu den Verfahren zur Erzeugung fotorealistischer Bilder werden in der mathematischen Computergrafik aus relativ einfachen Funktionen F(x) ansprechende Grafiken mit einer erstaunlich hohen Formenvielfalt berechnet. Ausgangspunkt für eine Grafik ist die komplexe Zahlenebene, aus der ein Ausschnitt ausgewählt wird. Innerhalb dieses Ausschnittes wird für jeden Punkt x die iterative Berechnung x -> F(x) -> F(F(x)) -> ... gestartet. Wird in dieser Folge ein festgelegter Wert überschritten, wird die Berechnung abgebrochen und anhand der Anzahl der durchgeführten Iterationen wird diesem Punkt nach festgelegten Regeln eine Farbe zugewiesen.

Ausgehend von den Koordinatenachsen X für horizontal und Y für vertikal, die sich jeweils von minus unendlich (links bzw. unten) über den Nullpunkt nach plus unendlich (rechts bzw oben) erstrecken, wird der gewünschte Bildausschnitt über den Startpunkt, das ist die linke obere Ecke des Bildes, und die Weite, das ist die Breite und die Höhe festgelegt.

Basis der Bildberechnung ist ein gebrochenes Polynom in der komplexen Zahlenebene. Ein gebrochenes Polynom Pg wird beschrieben über die Formel Pg(x) = Pz(x) / Pn(x). Zählerpolynom Pz und Nennerpolynom Pn sind dabei einfache Polynome der Form P(x) = (x - α) * (x - β) * ...; , wobei α, β, ... die Nullstellen (oder Singularitäten) des Polynoms darstellen. Standardmäßig wird mit dem Startwert x die Reihe f(x) = Pg(x) iterativ berechnet. Als Sonderfall kann festgelegt werden, daß mit dem festen Startwert z die Reihe f(z) = Pg(z) + x berechnet wird. Damit kann u.A. das bekannte "Apfelmännchen" nach der Formel f(z) = z² + x berechnet werden.

Die maximale Anzahl der Iterationen zur Berechnung eines Bildpunktes wird vorgegeben. Innerhalb dieses Rahmens wird nach jeder Iteration geprüft, ob ein Maximalwert überschritten ist. Als Abbruchkriterium kann die Vektorlänge (x² + y²)½ oder der absolute Betrages der X- bzw. Y-Komponente verwendet werden. Zusätzlich kann auch das Unterschreiten eines Minimalwertes bei der Berechnung überwacht werden.

Nach Abbruch der Berechnung wird ermittelt, welcher Prozentsatz der maximal konfigurierten Iterationen erreicht wurde. Dieser Wert wird auf ein festes Intervall abgebildet, in dem Farbverläufe festgelegt werden können. Aus den Bilddaten kann vor der Farbwahl das Intervall der tatsächlich erreichten Iterationen ermittelt werden. Damit kann sichergestellt werden, daß die gesamte Breite der gewählten Farbverläufe im Bild enthalten ist.

Die Auflösung des zu berechnenden Bildes kann beliebig vorgegeben werden. Die berechnete Grafik wird normalerweise im Bitmap-Format als Datei abgespeichert. Die Erzeugung eines Bildes kann aber auch in zwei Schritten erfolgen. Im ersten Schritt werden die berechneten Bilddaten nicht in Farbwerte umgesetzt, sondern in einem "rohen" Format in einer Zwischendatei abgelegt. Aus dieser Datei wird in einem zweiten Programmlauf die Zuordnung der Farbwerte vorgenommen, ohne daß die Bilddaten erneut berechnet werden müssen.

Weiter Informationen über die Bilder und ihre Parameter, die verwendeten Algorithmen und das Programm zur Berechnung der Grafiken erhalten Sie gerne auf Anfrage per eMail.


Weiterführende Links

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© Norbert Rixecker, 2007